Сохранение свойств при изоморфизме

Изоморфизм ЧУМов сохраняет: - минимальные элементы - $\forall{b \in A}\mathpunct{:}~~ (b \preccurlyeq a \iff b=a)$ - наименьший элемент - $b \preccurlyeq a \iff b=a$ - отношение покрытия

Для изоморфизма $f$: $$f(b) \preccurlyeq f(a) \iff b \preccurlyeq a$$ Из определения минимального элемента $a$: $b \preccurlyeq a \iff b=a$ Поскольку $f$ — биекция, $b=a \iff f(b)=f(a)$. Следовательно, $f(b) \preccurlyeq f(a) \iff f(b)=f(a)$, т.е. $f(a)$ — минимальный по определению. $\square$

Для изоморфизма $f$: $$f(a) \preccurlyeq f(b) \iff a \preccurlyeq b$$ По определению наименьшего элемента $a$, правая часть ($a \preccurlyeq b$) верна $\forall{b \in A}$. Так как $f$ — биекция, для любого элемента $y$ в образе $f(A)$ существует $b \in A$ такой, что $y=f(b)$. Следовательно, $f(a) \preccurlyeq y$ для всех $y \in f(A)$, т.е. $f(a)$ — наименьший по определению. $\square$

Пусть $a \triangleleft b$. Для изоморфизма $f$: $$f(a) \preccurlyeq f(b)$ и $f(a) \neq f(b)$$ Если $\exists{c}\mathpunct{:}~~ f(a) \preccurlyeq f(c) \preccurlyeq f(b)$, то в силу свойств изоморфизма $a \preccurlyeq c \preccurlyeq b$. Поскольку $a \triangleleft b$, по определению отношения покрытия $c \in \{a,b\}$. Следовательно, $f(c) \in \{f(a), f(b)\}$. Таким образом, $f(a) \triangleleft f(b)$ по определению. $\square$